数学秘籍5——复合函数零点的图像技巧
2020-12-17 14:00
来源：河北新高考
作者：新东方李新宇老师
数形结合是高中数学中非常重要的一种思想，尤其在函数部分，作为函数表示形式的一种，是非常重要的研究函数的工具。其中零点问题可以直接通过对图象的研究进行推理，但是函数图象的局限性在于我们通常只能倚赖基本初等函数的图象或者函数本身的一些性质作出一部分函数图象，甚至这其中还有一部分作图成本会很高。
例如在复合函数情境下，内外层函数通常结构都不会很难，但是复合后的函数结构就会变得非常复杂，没办法直接画出函数图象。但是在研究复合函数零点问题时可以换个思路作图。首先考虑如何通过代数方法求解零点。
本题中两种方法不会导致特别大的解题成本上的差别。但是在其他情境下数形结合的优势将会被体现的更好。
临界值：k=0,三个根
最后，我们来回顾和总结一下。首先对比一下代数计算和图形方法之间的区别和联系。纯代数计算需要完全依靠计算获得临界值和每种情形下的根的个数，这一定意味着非常大的计算量和推理难度。但是几何图形帮助我们以小得多的成本获知所有可能的情况，再参照可能的情况去计算临界值就会很方便。
但是实际上两种方式之间有本质性的相同点：都是逐层解决复合函数。从外层开始，向内层逐步计算。只是在图形上这个“逐层过程”不太容易想到而已。毕竟，解析式和图形是函数两种“地位平等”的表示方式，在本质上都是在描述对应关系，因此“逐层”这种简化计算的思路也是完全一样的。
本期数学秘籍来源于新东方高中数学组李新宇老师～
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